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Le theoreme de Dvoretzky ou comment obtenir des tranches bien rondes

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le lundi 24 octobre, de 18h à 19h en 15-25-104, et sera présenté par Pierre-Antoine Guihéneuf.

Résumé.

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Quelle est la forme des ensembles convexes en grande dimension ? Les réponses à cette question sont généralement de deux types : (1) en grande dimension, les convexes sont méchants ; (2) en grande dimension, les convexes sont gentils. Un exemple simple de réponse optimiste (donc du type 2) est un théorème de John et Loewner, qui assure qu’en dimension d, tout convexe est pris en sandwich entre deux ellipsoïdes, l’un homothétique de l’autre par un rapport \sqrt{d}.

Le résultat qui nous intéressera pendant cet exposé est le théorème de Dvoretzky, qui assure que si d est assez grand, alors tout convexe de \mathbb{R}^d a des sections de basse dimension qui sont presque sphériques (chose qu’on s’efforcera de définir calmement). Encore une réponse optimiste (2), mais nous verrons que la preuve fait intervenir des résultats pessimistes (1) : finalement les classifications en types (1) et (2) ne seraient-elles pas absurdes ?

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