Archives mensuelles : août 2014

Une énigme dans l’Amphi 25

Le prochain exposé aura lieu le 10 octobre, de 12h45 à 13h45 en salle 15-25 102, et sera présenté par Ayman Moussa. On y discutera de l’énigme suivante :

À la fin d’un cours, 60 étudiants de l’UPMC (en L3 de maths) essaient d’obtenir de leur professeur  une durée de pause plus longue pour les prochaines séances.

Le professeur choisit de les soumettre à l’épreuve suivante afin de déterminer la durée de la pause.

Il a disposé en ligne 60 boîtes numérotées de 1 à 60 dans l’Amphi 25 et a placé pour chaque  étudiant (dans un ordre que lui seul connaît) son nom dans l’une des boîtes et a fermé celle-ci, de sorte que chaque boîte contienne le nom d’un et un seul étudiant.

enigme

Il propose alors aux étudiants de rentrer, chacun à son tour, dans l’Amphi 25, afin de retrouver son nom. Chaque étudiant a droit au maximum à 30 ouvertures de boîte. Si ne serait-ce qu’un étudiant n’a pas retrouvé son nom au bout du trentième essai, la pause du cours restera de 5 minutes. Si chaque étudiant réussit à retrouver son nom en 30 ouvertures ou moins, la pause est étendue à 10 minutes. Les étudiants ont le droit de se concerter à l’avance mais une fois que l’un d’entre eux est rentré dans l’Amphi 25, aucune forme de communication ne leur est autorisée.

Une fois l’énoncé donné, le professeur affirme, souriant,

 » – Je suis sympa, je vous laisse tout de même au moins 30% de chances de réussite. « 

Les étudiants le regardent, perplexes, et l’un d’eux prend la parole :

 » – Monsieur, on n’a aucun moyen de savoir où sont nos noms ! Chacun de nous a donc une chance sur deux (30/60) de tomber juste. Et comme on n’a pas le droit de communiquer … on a 1/2^60 chances de réussir votre épreuve ! C’est beaucoup moins que 30%, c’est une arnaque votre histoire
! « 

Et le professeur de répondre

 » – Oui, ça c’est si vous vous refusez à utiliser vos connaissances mathématiques ! Allez, je vais être encore plus sympa … « 

Il se tourne alors vers le tableau et écrit en guise d’indication : ln(2) = 0.69314718056…

On exposera la stratégie permettant de dépasser les 30 % de chances de réussite, très simple dans sa formulation. Nous verrons que son efficacité, bien qu’astucieuse (le professeur n’est pas si sympa que ça), ne repose effectivement que sur des ingrédients du programme de Licence et que le taux de réussite atteint par cette stratégie est en fait optimal.