De la fonction de Weierstrass à l’intégration convexe

Le prochain séminaire Aromaths de la saison aura lieu le mercredi 21 novembre à 16h dans la salle 15-16-309 et sera présenté par Anne-Laure Dalibard.

Sujets abordés : Continuité • Dérivabilité • Séries de fonctions

Résumé.

Imaginez un verre d’eau au repos. Soudain, sans intervention extérieure, l’eau à l’intérieur de ce verre se met en mouvement et des tourbillons apparaissent. Puis, au bout de quelques instants, l’eau redevient immobile.

Ce phénomène ne respecte évidemment pas la conservation de l’énergie, et n’est donc pas admissible physiquement. Néanmoins, des équipes de mathématiciens ont récemment mis à jour des propriétés étonnantes de l’équation d’Euler, qui décrit les mouvements des fluides, et ont démontré que l’on pouvait construire des solutions de cette équation avec des propriétés inattendues, comme celle décrite plus haut.

Dans cet exposé, on étudiera une des briques de leur construction, qui s’apparente à la définition de la fonction de Weierstrass, continue partout et dérivable nulle part.

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La théorie des codes-barres: l’algèbre et la topologie au service de la reconnaissance de formes

Le second séminaire Aromaths de la saison aura lieu le mercredi 17 octobre à 16h dans la salle 24-34-207 et sera présenté par Vincent Humilière.

Sujets abordés : Espaces métriques • Algèbre linéaire  • Homologie

Résumé.

Comment aider un ordinateur à distinguer un chat d’un éléphant ? Nous verrons un aperçu  d’une méthode mathématique récente utilisée pour la reconnaissance de formes, basée sur des idées de topologie et d’algèbre linéaire. Ce sera l’occasion d’une petite visite à une notion abstraite, l’homologie, et à un bel espace métrique, l’espace des  »codes-barres »
et sa distance du  »goulot de bouteille ».

 

Analyse ou Algèbre? La représentation des fonctions dans l’analyse de Fourier

Le premier séminaire Aromaths de l’année aura lieu le mardi 18 septembre à 11h dans l’Amphi 15 et sera présenté par Jean Dhombres.

Sujets abordés : Analyse de Fourier • Séries de fonctions • Algèbres de fonctions

Résumé.

Alors qu’il était encore élève à l’École normale, Joseph Fourier, dont nous fêtons le
bicentenaire cette année, fut nommé professeur d’analyse algébrique à l’École Polytechnique. Il n’a jamais regretté cette terminologie qui paraît ambigüe, alors même qu’entre autres choses il a inventé une nouvelle façon de représenter les fonctions. Il y a la forme des séries de Fourier, pour les fonctions périodiques, et celle des intégrales qui portent son nom pour les fonctions intégrables sur tout l’axe réel. Le propos n’est pas d’égrener des résultats sur cette représentation, mais de voir comment elle fut découverte par Fourier lui-même, à partir de données mathématiques qui ne dépassent pas du tout celles d’un étudiant en début du cycle universitaire.

 

Détections de groupes d’amis dans des réseaux sociaux ou le spectral clustering

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mercredi 21 mars à 18h10 en salle 15-25-104 et sera présenté par Tabea Rebafka.

Sujets abordés : Algèbre linéaire • Décomposition spectrale • Graphe • Tableau de données

Résumé.

Un réseau social comme facebook est un très grand graphe. Pour l’analyser et comprendre les intéractions entre les individus, il est utile de regrouper les individus en des groupes d’amis. On appelle clustering la recherche d’un partitionnement des individus en des groupes dont les membres sont très connectés entre eux, appelés des communautés ou des clusters. Différentes méthodes de clustering existent dans la littérature, et nous en présenterons une des plus utilisées en pratique : le spectral clustering. Cette méthode repose sur une décomposition spectrale de la matrice d’adjacence du graphe (ou plus exactement de sa matrice laplacienne). L’idée est de projeter les données dans un espace de plus petite dimension dans lequel les différents clusters sont plus facile à détecter. Les résultats et propriétés principaux sur lesquels repose l’algorithme se démontrent avec des outils de base de l’algèbre linéaire. Plus généralement, on peut utiliser le spectral clustering pour partitionner les points d’un tableau de données classique en des groupes de points similaires. Ainsi, le spectral clustering se prête à l’utilisation sur des données de grande dimension de nature assez variée, issues d’internet ou d’autres domaines comme la médecine, l’économie, la sécurité.

 

Le poids des preuves: réseaux bayésiens dans le contexte judiciaire

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mercredi 21 février à 18h10 en salle 15-25-104 et sera présenté par Leila Schneps.

Sujets abordés : probabilités, réseaux bayésiens, erreurs judiciaires

Résumé.

Lors d’un procès, les avocats des deux parties présentent de multiples preuves de tous types,  dont certaines de nature objective, purement scientifique, comme par exemple l’analyse d’une trace chimique ou biologique laissée sur la scène du crime. Le jury est confronté à la tâche d’évaluer le poids de chaque preuve, pour parvenir à une estimation finale du poids de la totalité des preuves, qui doit être extrêmement convaincant pour justifier une condamnation. Mais de nombreuses études, étayées par des cas d’erreurs judiciaires reconnues, ont montré qu’il est très difficile d’estimer correctement le poids d’une preuve scientifique, et encore plus d’en combiner plusieurs, qui peuvent éventuellement être dépendantes les unes des autres.
Les réseaux bayésiens peuvent aider à structurer les preuves et permettre de donner une évaluation fiable de leur poids réel. Le théorème de Bayes permet de recalculer la probabilité d’un événement quand un nouveau renseignement est acquis. Les réseaux bayésiens permettent d’appliquer le théorème de Bayes plusieurs fois simultanément, dans le but de recalculer une probabilité donnée (en général celle de la culpabilité de l’accusé) après l’acquisition du plusieurs preuves, en particulier des résultats d’analyses scientifiques. Nous
montrerons sur des exemples tirés de vrais cas combien les résultats fournis par notre intuition peuvent être loin de la vérité mathématique.

 

L’isomorphisme Curry Howard, une révolution mathématique dans le langage mathématique

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mercredi 24 janvier à 18h10 en salle 15-25-104 et sera présenté par Antonio Mosca.

Sujets abordés : logique, calcul, langage mathématique, preuves, programmes, linguistique, rhétorique, biais cognitifs, pseudo-sciences 

Résumé.

Les histoires de la logique (cf. la bande dessinée Logicomix) , ainsi que les cours universitaires de logique, écrivent le plus souvent leur fin mot avec le théorème d’incomplétude de Gödel. Ce dernier marque en vérité le début d’une toute autre histoire, car il met en avant le clivage (fondamental, car caractérisant en linguistique tout vrai langage) entre ce qu’on fait – les constructions – et ce qu’on dit qu’on fait – les démonstrations -dans et par les formalismes mathématiques. Les théoriciens de la démonstration et les théoriciens du calcul, après avoir vu leurs chemins se séparer ainsi, découvrent toutefois, et établissent, dans les années 1960, une stricte identité entre les preuves et les programmes, et jettent par là un pont tout à fait inattendu entre le « niveau logique » et le « niveau algorithmique » du langage mathématique. Cette correspondance assez spectaculaire, connue comme isomorphisme Curry-Howard, représente un véritable coup de théâtre épistémologique, permettant de relire de façon critique le récit de l’histoire de la logique telle qu’il est souvent fait par et pour les « logiciens philosophes », ainsi que la révolution informatique dont nous faisons aujourd’hui l’expérience.

On verra aussi comment l’isomorphisme Curry-Howard permet d’établir des ponts entre linguistique et mathématique, et comment ce nouveau regard sur la logique peut nous aider à analyser de façon critique les dérives causées par les dynamiques discursives collectives pseudo-logiques (fake news, conspirationnismes, pseudo-sciences, etc).

Géométrie Arithmétique

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mercredi 20 décembre à 18h10 en salle 15-25-104 et sera présenté par Ariane Mézard.

Sujets abordés : arithmétique, convexité et connexité, intégrale, théorème chinois

Résumé.

L’arithmétique, c’est compter, résoudre des problèmes avec des entiers. La géométrie consiste à étudier, représenter des objets de l’espace. La géométrie permet de résoudre des équations arithmétiques et d’en formuler de nouvelles. De l’arithmétique émergent des structures géométriques aux propriétés contre-intuitives.