Les courbes de Bézier : des polynômes dans nos fichiers « pdf »

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le jeudi 16 mars de 18h à 19h en 15-25-104, et sera présenté par Frédéric Le Roux.

Sujets abordés : courbes paramétrées, bases de polynômes, géométrie plane, matrices.

Résumé.

surface-bezier

Une surface de Bézier

Inventées dans les années 1960 pour les besoins de l’industrie automobile, les courbes de Bézier sont maintenant omniprésentes : on en trouve en particulier dans nos fichiers « pdf » et dans les logiciels de dessin vectoriels. On racontera le fabuleux destin des idées géométriques et algébriques des ingénieurs Pierre Bézier et Paul de Casteljau.

bernstein_poly_3

Les polynômes de Bernstein

e-ps

Définition du caractère « e » en postscript

 

Rang d’une matrice, Amazon et la textométrie

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le jeudi 16 février de 18h à 19h en 15-25-104, et sera présenté par Antonin Guilloux.

Sujets abordés : algèbre linéaire appliquée ; analyse de texte.

Résumé.

aromaths

Résultat de l’analyse textométrique d’un ensemble de textes : plus de détails jeudi 16 !

De nombreuses données sont modélisées par des tableaux de nombre – par exemple le tableau des appréciations d’utilisateurs d’Amazon sur les objets en vente.

Nous verrons comment une hypothèse de petit rang sur ce tableau (vu comme une matrice) permet de mieux le comprendre. Nous nous interrogerons sur la signification de cette hypothèse et verrons quelques applications, par exemple à l’analyse automatique de textes, appelée textométrie.

Baguenodons, c’est utile !

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le lundi 21 novembre, de 18h à 19h en 15-25-104, et sera présenté par Maÿlis Limouzineau.

Résumé.

dsc_2525dsc_2432

 

 

 

 

Le baguenaudier, vous connaissez ? Il s’agit d’un puzzle, similaire à la célèbre tour de Hanoï. Il est fait d’une série d’anneaux pris dans une tringle qu’il faut libérer. Il y a là de quoi s’occuper un petit moment, et l’objet d’une quinzaine de centimètres de long peut s’emporter partout.

Celui qui voit un homme sérieux passer de longs moments à élever et baisser les anneaux du baguenodier est invinciblement porté à dire : « En voilà un qui perd sont temps »                                                                                                     Louis Gros, 1872

Et pourtant ce casse-tête très ancien ouvre sur une tripotée d’applications. Au 20ième siècle, émerge une solution sous forme de code binaire. Quelques 80 ans plus tard, l’ingénieur américain Franck Gray brevette ce code qui porte aujourd’hui son nom. Cette invention est aujourd’hui présente dans de nombreux systèmes de capteurs de positions, comme dans une souris d’ordinateur par exemple.

Dans cet exposé, nous ferons donc un petit tour de baguenaudier. Nous construirons le code solution (code de Gray) et en verrons certaines vertus. Nous changerons l’orthographe du puzzle en mémoire de monsieur Gros, et nous conclurons en donnant une surprenante application en théorie des nœuds.

brunien

Le theoreme de Dvoretzky ou comment obtenir des tranches bien rondes

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le lundi 24 octobre, de 18h à 19h en 15-25-104, et sera présenté par Pierre-Antoine Guihéneuf.

Résumé.

cubehexagon1_800

Quelle est la forme des ensembles convexes en grande dimension ? Les réponses à cette question sont généralement de deux types : (1) en grande dimension, les convexes sont méchants ; (2) en grande dimension, les convexes sont gentils. Un exemple simple de réponse optimiste (donc du type 2) est un théorème de John et Loewner, qui assure qu’en dimension d, tout convexe est pris en sandwich entre deux ellipsoïdes, l’un homothétique de l’autre par un rapport \sqrt{d}.

Le résultat qui nous intéressera pendant cet exposé est le théorème de Dvoretzky, qui assure que si d est assez grand, alors tout convexe de \mathbb{R}^d a des sections de basse dimension qui sont presque sphériques (chose qu’on s’efforcera de définir calmement). Encore une réponse optimiste (2), mais nous verrons que la preuve fait intervenir des résultats pessimistes (1) : finalement les classifications en types (1) et (2) ne seraient-elles pas absurdes ?

Sliced for Ratatouille

Les ultraproduits ou l’art d’agréger des structures mathématiques

Le séminaire Aromaths fait sa rentrée ! Le prochain exposé aura lieu le 15 septembre, de 10h45 à 11h45 dans l’Amphi 15, et sera présenté par Adrien Deloro.

Résumé.

adriendeloro

L’ultraproduit est une construction mathématique élémentaire (il suffit de savoir ce qu’est une relation d’équivalence, ce que nous rappellerons en début d’exposé) mais injustement méconnue. On la rencontre en logique mathématique, en analyse fonctionnelle, en théorie des nombres, et même en économie ! Elle permet de produire à partir d’une famille d’objets mathématiques un nouvel objet ayant les propriétés  » majoritaires  » de la famille, un peu comme si on les faisait voter. L’ultraproduit décrit donc le comportement asymptotique de la famille, et c’est ce qui lui ouvre tant d’applications. Évidemment il y a bien quelques inconvénients, que j’essaierai de présenter aussi.

Des Billards et des Papillons

Le prochain exposé aura lieu le 17 mars, de 12h30 à 13h30 en salle 15-25 104, et sera présenté par Jean-Pierre Marco.

Résumé.

Billard-dispersif2     papillons

Un battement d’aile de papillon en Australie pourrait peut-être changer le climat en Europe … Cet effet quelque peu caricatural vise à traduire l’extrême instabilité que présentent certains modèles climatiques. Il s’agit de  » systèmes dynamiques  » dont l’évolution est radicalement changée sous des variations presque indétectables des conditions initiales. Nous illustrerons cet effet au moyen d’un simple système simple en apparence : l’évolution d’une boule de billard dans des tables de billard de diverses formes. Nous donnerons des outils mathématiques pour l’évaluer (entropie), et nous verrons le rôle particulier que jouent les tables de bord circulaire (peu courantes …) dans la famille des billards.

 

Billard-circulaire   Billard-elliptique

 

Des jolies maths pour réussir votre mousse au chocolat

Le prochain exposé aura lieu le jeudi 11 février, de 12h30 à 13h30 en salle 15-25 104, et sera présenté par Juliette Bavard.

Résumé.

batteur

Nous définirons le groupe des tresses, objet aux multiples facettes, très utile dans de nombreuses branches des mathématiques (et ailleurs !). Nous étudierons ensuite l’action de ce groupe sur certaines courbes du disque et son utilisation en dynamique topologique des fluides. En particulier, nous essaierons de comprendre comment ce groupe peut être utilisé pour répondre à la question suivante :  » Quel doit être le sens de rotation des fouets de votre batteur électrique pour qu’il mélange le plus efficacement possible ? « .

tresse                      twist