Les nombres p-adiques au service des suites récurrentes

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mardi 26 février à 17h45 dans la salle 15-25-104 et sera présenté par Romain Dujardin.

Sujets abordés : topologie • arithmétique • fonctions analytiques • suites récurrentes

Résumé.

Considérons une récurrence de la forme u_{n+k} = a_0u_n + \cdots a_{k-1} u_{n+k-1}, où les u_0, \ldots , u_{k-1} sont donnés. Un exemple célèbre est la suite de Fibonacci u_{n+2} = u_{n+1}+ u_n. Peut on décrire l’ensemble des n pour lesquels u_n =0? La réponse est donnée par un théorème de Skolem, Mahler et Lech. L’objet de l’exposé sera de présenter les idées de la démonstration de ce théorème, qui fait un détour inattendu chez les nombres p-adiques, des (pas si) lointains cousins de nos nombres réels…

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Sommes de carrés

Le premier séminaire Aromaths 2019 aura lieu le mardi 22 janvier à 14h30 dans la salle 15-16-309 et sera présenté par

et sera présenté par Sophie Morier-Genoud.

Sujets abordés : algèbre linéaire • arithmétique • topologie

Résumé.

En 1898, Adolf Hurwitz a posé un problème de réécriture en somme de carrés d’un produit de sommes de carrés. Ce problème, qui n’est pas encore entièrement résolu, est lié à d’autres questions en mathématiques fondamentales (algèbre et topologie).
De manière plus surprenante, ce problème abstrait a pris récemment une forme très concrète en apparaissant dans le domaine de la communication sans fil et du codage de wifi dans les avions. Cet exposé présentera la question sous différentes facettes dans un survol allant des pâquerettes aux nuages.

 

Déformations de courbes planes, flots géométriques et la conjecture de Poincaré

Le dernier séminaire Aromaths du semestre aura lieu le mercredi 19 décembre à 14h dans la salle 24-34-207 et sera présenté par Zindine Djadli.

Sujets abordés : courbes dans le plan • courbure • analyse réelle

Résumé.

Le but de l’exposé est de présenter un procédé naturel de déformation des courbes planes.  De façon imagée, il s’agit de rendre la courbe moins « courbée » là où elle l’est le plus et de la rendre plus « courbée » là où elle l’est le moins. Grâce à quelques vidéos, on se rendra compte de l’effet obtenu : une courbe convexe se transforme immanquablement en
cercle ! Il est à noter, et ce sera l’un des points abordés dans l’exposé, que ce sont des techniques similaires qui ont permis à Perelman de donner une démonstration de la fameuse conjecture de Poincaré au début des années 2000.

 

De la fonction de Weierstrass à l’intégration convexe

Le prochain séminaire Aromaths de la saison aura lieu le mercredi 21 novembre à 16h dans la salle 15-16-309 et sera présenté par Anne-Laure Dalibard.

Sujets abordés : Continuité • Dérivabilité • Séries de fonctions

Résumé.

Imaginez un verre d’eau au repos. Soudain, sans intervention extérieure, l’eau à l’intérieur de ce verre se met en mouvement et des tourbillons apparaissent. Puis, au bout de quelques instants, l’eau redevient immobile.

Ce phénomène ne respecte évidemment pas la conservation de l’énergie, et n’est donc pas admissible physiquement. Néanmoins, des équipes de mathématiciens ont récemment mis à jour des propriétés étonnantes de l’équation d’Euler, qui décrit les mouvements des fluides, et ont démontré que l’on pouvait construire des solutions de cette équation avec des propriétés inattendues, comme celle décrite plus haut.

Dans cet exposé, on étudiera une des briques de leur construction, qui s’apparente à la définition de la fonction de Weierstrass, continue partout et dérivable nulle part.

La théorie des codes-barres: l’algèbre et la topologie au service de la reconnaissance de formes

Le second séminaire Aromaths de la saison aura lieu le mercredi 17 octobre à 16h dans la salle 24-34-207 et sera présenté par Vincent Humilière.

Sujets abordés : Espaces métriques • Algèbre linéaire  • Homologie

Résumé.

Comment aider un ordinateur à distinguer un chat d’un éléphant ? Nous verrons un aperçu  d’une méthode mathématique récente utilisée pour la reconnaissance de formes, basée sur des idées de topologie et d’algèbre linéaire. Ce sera l’occasion d’une petite visite à une notion abstraite, l’homologie, et à un bel espace métrique, l’espace des  »codes-barres »
et sa distance du  »goulot de bouteille ».

 

Analyse ou Algèbre? La représentation des fonctions dans l’analyse de Fourier

Le premier séminaire Aromaths de l’année aura lieu le mardi 18 septembre à 11h dans l’Amphi 15 et sera présenté par Jean Dhombres.

Sujets abordés : Analyse de Fourier • Séries de fonctions • Algèbres de fonctions

Résumé.

Alors qu’il était encore élève à l’École normale, Joseph Fourier, dont nous fêtons le
bicentenaire cette année, fut nommé professeur d’analyse algébrique à l’École Polytechnique. Il n’a jamais regretté cette terminologie qui paraît ambigüe, alors même qu’entre autres choses il a inventé une nouvelle façon de représenter les fonctions. Il y a la forme des séries de Fourier, pour les fonctions périodiques, et celle des intégrales qui portent son nom pour les fonctions intégrables sur tout l’axe réel. Le propos n’est pas d’égrener des résultats sur cette représentation, mais de voir comment elle fut découverte par Fourier lui-même, à partir de données mathématiques qui ne dépassent pas du tout celles d’un étudiant en début du cycle universitaire.

 

Détections de groupes d’amis dans des réseaux sociaux ou le spectral clustering

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mercredi 21 mars à 18h10 en salle 15-25-104 et sera présenté par Tabea Rebafka.

Sujets abordés : Algèbre linéaire • Décomposition spectrale • Graphe • Tableau de données

Résumé.

Un réseau social comme facebook est un très grand graphe. Pour l’analyser et comprendre les intéractions entre les individus, il est utile de regrouper les individus en des groupes d’amis. On appelle clustering la recherche d’un partitionnement des individus en des groupes dont les membres sont très connectés entre eux, appelés des communautés ou des clusters. Différentes méthodes de clustering existent dans la littérature, et nous en présenterons une des plus utilisées en pratique : le spectral clustering. Cette méthode repose sur une décomposition spectrale de la matrice d’adjacence du graphe (ou plus exactement de sa matrice laplacienne). L’idée est de projeter les données dans un espace de plus petite dimension dans lequel les différents clusters sont plus facile à détecter. Les résultats et propriétés principaux sur lesquels repose l’algorithme se démontrent avec des outils de base de l’algèbre linéaire. Plus généralement, on peut utiliser le spectral clustering pour partitionner les points d’un tableau de données classique en des groupes de points similaires. Ainsi, le spectral clustering se prête à l’utilisation sur des données de grande dimension de nature assez variée, issues d’internet ou d’autres domaines comme la médecine, l’économie, la sécurité.