Géométrie Arithmétique

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mercredi 20 décembre à 18h10 en salle 15-25-104 et sera présenté par Ariane Mézard.

Sujets abordés : arithmétique, convexité et connexité, intégrale, théorème chinois

Résumé.

L’arithmétique, c’est compter, résoudre des problèmes avec des entiers. La géométrie consiste à étudier, représenter des objets de l’espace. La géométrie permet de résoudre des équations arithmétiques et d’en formuler de nouvelles. De l’arithmétique émergent des structures géométriques aux propriétés contre-intuitives.

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Mathémusique

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mercredi 29 novembre octobre à 18h10 en salle 15-25-104 et sera présenté par Pierre Monmarché.

Sujets abordés : équation différentielles, équations des ondes, transformée de Fourier, valeurs propres

Résumé.

En partant uniquement de l’équation de Newton (masse fois accélération égal somme des forces), et avec un peu d’équations différentielles, on peut comprendre pourquoi il y a très exactement 12 notes de musique, et pourquoi certaines d’entre elles sont regroupées dans une même gamme, ou dans un même accord (et pourquoi les musiques militaires, le chant grégorien et les chansons de Patrick Sébastien sont ce qu’ils sont). On voit aussi que les fréquences sonores auxquelles la Castafiore peut faire éclater un verre sont données par les valeurs propres d’une grande matrice.

La géométrie intégrale ou comment mesurer sans toucher

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mercredi 25 octobre à 18h10 en salle 15-25-104 et sera présenté par Julien Marché.

Sujets abordés : géométrie, intégrales multiples, théorème de Fubini

Résumé.

Si on se donne une courbe dans le plan, quel est, parmi toutes les droites du plan, le nombre moyen de points d’intersections de cette droite avec la courbe? Crofton a répondu à cette question à la fin du 19ème siècle, parmi bien d’autres qui forment ce qu’on appelle la géométrie intégrale, riche d’applications en mathématiques pures comme appliquées (tomographie). Mathématiquement, il nous faudra comprendre comment intégrer des fonctions non plus sur des intervalles ou des ouverts de l’espace euclidien mais sur l’ensemble des droites (ou pire, des isométries). Au menu, théorème de Fubini et changements de variables pour de jolis théorèmes de géométrie.

Le processus du restaurant chinois

Aromaths fait sa rentrée ! Le mercredi 20 septembre à 10h45 dans l’Amphi 15 et sera présenté par Amaury Lambert.

Sujets abordés : probabilités, combinatoire, théorie des nombres.

Résumé.

Dans un restaurant très vaste déjà occupé par n convives, un nouveau client entre et choisit de s’asseoir à une table inoccupée avec probabilité a/(a+n) et sinon sélectionne un voisin uniformément au hasard. Que se passe-t-il lorsque n est grand, par exemple pour le nombre de tables occupées ? Pour le nombre de convives assis à la table qui en accueille le plus grand nombre ? Pour le nombre de convives assis à celle où s’est attablé le premier client ? Nous verrons apparaître à la limite un objet aléatoire appelé distribution de Poisson-Dirichlet et en détaillerons quelques applications, notamment en génétique des populations (distribution des fréquences alléliques), en combinatoire (distribution des tailles des cycles d’une grande permutation aléatoire), en théorie des nombres (distribution des facteurs premiers de grands nombres aléatoires) et en statistique (inférence bayésienne non paramétrique).

Les courbes de Bézier : des polynômes dans nos fichiers « pdf »

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le jeudi 16 mars de 18h à 19h en 15-25-104, et sera présenté par Frédéric Le Roux.

Sujets abordés : courbes paramétrées, bases de polynômes, géométrie plane, matrices.

Résumé.

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Une surface de Bézier

Inventées dans les années 1960 pour les besoins de l’industrie automobile, les courbes de Bézier sont maintenant omniprésentes : on en trouve en particulier dans nos fichiers « pdf » et dans les logiciels de dessin vectoriels. On racontera le fabuleux destin des idées géométriques et algébriques des ingénieurs Pierre Bézier et Paul de Casteljau.

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Les polynômes de Bernstein

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Définition du caractère « e » en postscript

 

Rang d’une matrice, Amazon et la textométrie

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le jeudi 16 février de 18h à 19h en 15-25-104, et sera présenté par Antonin Guilloux.

Sujets abordés : algèbre linéaire appliquée ; analyse de texte.

Résumé.

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Résultat de l’analyse textométrique d’un ensemble de textes : plus de détails jeudi 16 !

De nombreuses données sont modélisées par des tableaux de nombre – par exemple le tableau des appréciations d’utilisateurs d’Amazon sur les objets en vente.

Nous verrons comment une hypothèse de petit rang sur ce tableau (vu comme une matrice) permet de mieux le comprendre. Nous nous interrogerons sur la signification de cette hypothèse et verrons quelques applications, par exemple à l’analyse automatique de textes, appelée textométrie.

Baguenodons, c’est utile !

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le lundi 21 novembre, de 18h à 19h en 15-25-104, et sera présenté par Maÿlis Limouzineau.

Résumé.

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Le baguenaudier, vous connaissez ? Il s’agit d’un puzzle, similaire à la célèbre tour de Hanoï. Il est fait d’une série d’anneaux pris dans une tringle qu’il faut libérer. Il y a là de quoi s’occuper un petit moment, et l’objet d’une quinzaine de centimètres de long peut s’emporter partout.

Celui qui voit un homme sérieux passer de longs moments à élever et baisser les anneaux du baguenodier est invinciblement porté à dire : « En voilà un qui perd sont temps »                                                                                                     Louis Gros, 1872

Et pourtant ce casse-tête très ancien ouvre sur une tripotée d’applications. Au 20ième siècle, émerge une solution sous forme de code binaire. Quelques 80 ans plus tard, l’ingénieur américain Franck Gray brevette ce code qui porte aujourd’hui son nom. Cette invention est aujourd’hui présente dans de nombreux systèmes de capteurs de positions, comme dans une souris d’ordinateur par exemple.

Dans cet exposé, nous ferons donc un petit tour de baguenaudier. Nous construirons le code solution (code de Gray) et en verrons certaines vertus. Nous changerons l’orthographe du puzzle en mémoire de monsieur Gros, et nous conclurons en donnant une surprenante application en théorie des nœuds.

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