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Le plan hyperbolique

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mardi 12 novembre, en salle 15-25-104, à 16h. Maxime Wolff nous parlera des jolies propriétés du plan hyperbolique.

Sujets abordés : topologie • analyse complexe • permutations • groupes

Résumé.

Le plan hyperbolique apparaît pour la première fois dans les travaux de Beltrami, comme modèle de la géométrie non euclidienne imaginée par Lobatchevski, Bolyai et Gauss : c’est une géométrie où le cinquième postulat d’Euclide est mis en défaut.

Dans cet exposé nous ferons une petite visite de ce plan hyperbolique, qui a été beaucoup dessiné par Escher, et qui est maintenant un objet de base dans bien des domaines des mathématiques. Si l’exposé est réussi, alors vous ne verrez plus les matrices 2×2 comme avant !

Hackers VS Équations diophantiennes

Le prochain séminaire Aromaths est organisé en collaboration avec la SMF dans le cadre du cycle « Mathématiques Étonnantes » et sera présenté par deux orateurs : Razvan Barbulescu et Sébastien Canard. La plage horaire et le lieu changent également : mardi 16 avril, de 18h à 19h30 dans l’Amphi 25.

Sujets abordés : algèbre linéaire • arithmétique • cryptographie • groupes

Résumé.

Qui voudrait que son courrier puisse être ouvert par la poste ? Qui désirerait choisir entre protéger ses données sensibles ou être victime d’une cyberattaque ? Qui souhaiterait que son cinéma connaisse tout de sa vie ? Pourtant, on est souvent confronté à ces renoncements depuis que les ordinateurs, les tablettes et les smartphones ont envahi notre quotidien. Utilisée depuis l’Antiquité, notamment par Jules César, la cryptographie a bien évolué, et offre aujourd’hui de nombreuses possibilités pour protéger ses données, sa vie privée, sans rien sacrifier de notre quotidien numérique. Elle permet d’associer anonymat et responsabilité, de calculer sur des données que l’on ne connaît pas, et bien d’autres choses encore… Si cela est possible, c’est en particulier grâce à Diophante, un mathématicien ayant vécu à Alexandrie à l’époque hellénistique. Celui-ci étudiait des équations mathématiques comme y^2 = x^3 + ax + b (on parle de courbes « elliptiques ») et notamment leurs solutions entières ou rationnelles. Ces courbes possèdent une riche structure mathématique, utilisée par exemple pour authentifier les passeports européens. La solution des problèmes plus complexes cités plus haut fait intervenir l’accouplement de deux courbes elliptiques, une objet mathématique introduit au XXème siècle par deux mathématiciens: André Weil et John Tate. Vous apprendrez les méthodes de construction des courbes elliptiques adaptées à de tels accouplements, ainsi que les algorithmes qui permettent d’accélérer de telles opérations, et qui font l’objet d’une recherche contemporaine abondante. Nous verrons également comment ces accouplements sont utilisés dans le système BlindIDS qui détecte des virus dans un trafic chiffré, ou dans LYRICS qui vous rend anonyme tout en garantissant votre place de cinéma.

Les nombres p-adiques au service des suites récurrentes

Le prochain séminaire Aromaths aura lieu le mardi 26 février à 17h45 dans la salle 15-25-104 et sera présenté par Romain Dujardin.

Sujets abordés : topologie • arithmétique • fonctions analytiques • suites récurrentes

Résumé.

Considérons une récurrence de la forme u_{n+k} = a_0u_n + \cdots a_{k-1} u_{n+k-1}, où les u_0, \ldots , u_{k-1} sont donnés. Un exemple célèbre est la suite de Fibonacci u_{n+2} = u_{n+1}+ u_n. Peut on décrire l’ensemble des n pour lesquels u_n =0? La réponse est donnée par un théorème de Skolem, Mahler et Lech. L’objet de l’exposé sera de présenter les idées de la démonstration de ce théorème, qui fait un détour inattendu chez les nombres p-adiques, des (pas si) lointains cousins de nos nombres réels…

Sommes de carrés

Le premier séminaire Aromaths 2019 aura lieu le mardi 22 janvier à 14h30 dans la salle 15-16-309 et sera présenté par

et sera présenté par Sophie Morier-Genoud.

Sujets abordés : algèbre linéaire • arithmétique • topologie

Résumé.

En 1898, Adolf Hurwitz a posé un problème de réécriture en somme de carrés d’un produit de sommes de carrés. Ce problème, qui n’est pas encore entièrement résolu, est lié à d’autres questions en mathématiques fondamentales (algèbre et topologie).
De manière plus surprenante, ce problème abstrait a pris récemment une forme très concrète en apparaissant dans le domaine de la communication sans fil et du codage de wifi dans les avions. Cet exposé présentera la question sous différentes facettes dans un survol allant des pâquerettes aux nuages.

 

Déformations de courbes planes, flots géométriques et la conjecture de Poincaré

Le dernier séminaire Aromaths du semestre aura lieu le mercredi 19 décembre à 14h dans la salle 24-34-207 et sera présenté par Zindine Djadli.

Sujets abordés : courbes dans le plan • courbure • analyse réelle

Résumé.

Le but de l’exposé est de présenter un procédé naturel de déformation des courbes planes.  De façon imagée, il s’agit de rendre la courbe moins « courbée » là où elle l’est le plus et de la rendre plus « courbée » là où elle l’est le moins. Grâce à quelques vidéos, on se rendra compte de l’effet obtenu : une courbe convexe se transforme immanquablement en
cercle ! Il est à noter, et ce sera l’un des points abordés dans l’exposé, que ce sont des techniques similaires qui ont permis à Perelman de donner une démonstration de la fameuse conjecture de Poincaré au début des années 2000.

 

De la fonction de Weierstrass à l’intégration convexe

Le prochain séminaire Aromaths de la saison aura lieu le mercredi 21 novembre à 16h dans la salle 15-16-309 et sera présenté par Anne-Laure Dalibard.

Sujets abordés : Continuité • Dérivabilité • Séries de fonctions

Résumé.

Imaginez un verre d’eau au repos. Soudain, sans intervention extérieure, l’eau à l’intérieur de ce verre se met en mouvement et des tourbillons apparaissent. Puis, au bout de quelques instants, l’eau redevient immobile.

Ce phénomène ne respecte évidemment pas la conservation de l’énergie, et n’est donc pas admissible physiquement. Néanmoins, des équipes de mathématiciens ont récemment mis à jour des propriétés étonnantes de l’équation d’Euler, qui décrit les mouvements des fluides, et ont démontré que l’on pouvait construire des solutions de cette équation avec des propriétés inattendues, comme celle décrite plus haut.

Dans cet exposé, on étudiera une des briques de leur construction, qui s’apparente à la définition de la fonction de Weierstrass, continue partout et dérivable nulle part.